Simple Harmonic Motion

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย(Simpleharmonic Motion)

           

             การเคลื่อนที่ของสิ่งต่างๆ เช่น การแกว่งชิงช้า การแกว่งของลูกตุ้ม การเคลื่อนที่ของมวลที่ติดกับปลายแผ่นสปริง การเคลื่อนที่ขึ้นลงของผิวน้ำขณะเกิดคลื่นผิวน้ำ การเคลื่อนที่ของสิ่งเหล่านี้แตกต่างจากการเคลื่อนที่แบบอื่นอย่างไร

              การเคลื่อนที่ของชิงช้า ลูกตุ้มและมวลที่ปลายแผ่นสปริงมีลักษณะที่เหมือนกัน คือ ถ้าเราเริ่มสังเกตวัตถุดังกล่าวจะเคลื่อนที่ผ่านตำแหน่งสมดุลไปในทิศทางหนึ่งและอัตราเร็วจะลดลงเรื่อยๆจนหยุด แล้วเคลื่อนที่ย้อนกลับมาตามแนวทางเดิม โดยอัตราเร็วเพิ่มขึ้นเรื่อยๆและมีอัตราเร็วสูงสุดเมื่อผ่านตำแหน่งสมดุล จากนั้นอัตราเร็วจะลดลงจนหยุดอีกครั้งหนึ่ง

  การเคลื่อนที่ของวัตถุติดสปริงบนพื้นราบ

          ในรูป  วางมวลไว้บนพื้นราบ ผูกวัตถุเข้ากับปลายหนึ่งของสปริงโดยที่อีกปลายหนึ่งของสปริงผูกติดกับผนัง วัตถุจะอยู่นิ่งๆ บนพื้นในตำแหน่งสมดุล เมื่อดึงวัตถุออกจากตำแหน่งสมดุลแล้วปล่อยให้วัตถุเคลื่อนที่บนพื้นราบ วัตถุจะเคลื่อนที่กลับไปกลับมาผ่านตำแหน่งสมดุลและซ้ำเส้นทางเดิมการเคลื่อนที่ในลักษณะนี้มีจำนวนมาก เช่น  การสั่นของสายไวโอลินเมื่อถูกสี การสั่นของกลองเมื่อถูกตี  การเคลื่อนที่ของวัตถุที่ติดปลายลวดสปริง การเคลื่อนที่ของโมเลกุลอากาศเมื่อเคลื่อนเสียงส่งผ่าน  การเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนในสายอากาศของเครื่องส่งวิทยุ เป็นต้น ปริมาณที่สำคัญอย่างหนึ่งของการเคลื่อนที่ในลักษณะนี้ คือ ความถี่ ซึ่งหมายถึงจำนวนรอบของการเคลื่อนที่ใน 1 วินาที แทนสัญลักษณ์ f มีหน่วยเป็นเฮิรตซ์ (Hz) ซึ่ง 1 Hz =                              
           ความถี่จะเป็นส่วนกลับกับคาบ ดังสมการ (4.13) คาบคือ เวลาในการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ ใช้สัญลักษณ์  T  แทนคาบ คาบมีหน่วยเป็นวินาที (s)
                                                                                                                   (4.13)
          การเคลื่อนที่ใดๆ ซึ่งเคลื่อนที่กลับไปมาซ้ำทางเดิม โดยผ่านตำแหน่งสมดุลและคาบของการเคลื่อนที่คงตัว ดังแสดงด้วยกราฟของการเคลื่อนที่ในแนวแกน x ดังรูป 4.24  เรียกว่า การเคลื่อนที่แบบพีริออดิก(periodic motion)

           

กราฟของการเคลื่อนที่แบบพีริออดิก ทางแกน x

          การเคลื่อนที่แบบพีริออดิกชนิดหนึ่งที่กราฟของการกระจัดกับเวลาอยู่ในรูปของฟังก์ชันไซน์หรือโคไซน์ความถี่คงที่มีค่าที่แน่นอนค่าเดียว เรียกว่า  การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย  (simple harmonic motion) นั่นคือ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเป็นการเคลื่อนที่แบบพีริออดิกอย่างหนึ่ง อาจจะเรียกย่อๆ ว่า  การเคลื่อนที่แบบ  SHM  การกระจัดทาง  x  ในรูปฟังก์ชันของเวลา  t  ของ SHM โดยทั่วไปเขียนเป็นสมการได้เป็น
                                                       (4.14)   
                  ซึ่ง  , และ เป็นค่าคงตัว
                  เป็นการกระจัดสูงสุด เรียกว่า แอมพลิจูด (Amplitude)  
                 เป็นความถี่เชิงมุม มีค่าเท่ากับ เมื่อ f  เป็นความถี่ หรือเท่ากับเมื่อ  T  เป็น คาบ  (period)
เป็นค่าคงตัวทางเฟส (phase constant)  หมายถึงเฟสเริ่มต้น  คือค่าเฟสที่เวลาเป็นศูนย์ การเคลื่อนที่จะเป็นรูปไซน์หรือโคไซน์ขึ้นกับค่านี้ ถ้า  ก็เป็นรูปโคไซน์ ถ้า  ก็เป็นรูปไซน์  เนื่องจากรูปโคไซน์และรูปไซน์ต่างกันที่เฟสเท่านั้น  จึงอาจเรียกรวมว่าเป็นฟังก์ชันรูปไซน์ (sinusoidal function)  ในสมการ (4.14)  นับเป็นเฟสที่เปลี่ยนไปตามเวลาของการเคลื่อนที่
          จากสมการ (4.14)  เมื่อเขียนกราฟระหว่างการกระจัดกับเวลา โดยมี ต่างๆ กันการกระจัดที่ตำแหน่งเริ่มต้นจะมีค่าขึ้นกับมุมเฟสเริ่มต้น ดังรูป 

 

กราฟระหว่างการกระจัดกับเวลาของฟังก์ชันรูปไซน์ และ </b>

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย จึงอาจจะเขียนได้ในรูป

                                                                                                     (4.15)

          ถ้าอนุภาคเริ่มต้นเคลื่อนที่จากตำแหน่งสมดุล  (x  =  0)  ซึ่งจะมีลักษณะเช่นเดียวกับกราฟของ

                                                     

        สรุปได้ว่า  สำหรับ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย  คือการเคลื่อนที่ซึ่งมีการกระจัดเป็นฟังก์ชันของเวลาเป็นฟังก์ชันรูปไซน์

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเทียบกับการเคลื่อนที่เป็นวงกลม

การเคลื่อนที่แบบซิมเปิ้ลฮาร์มอนิก มีลักษณะคล้ายกับการเคลื่อนที่แบบวงกลม กล่าวคือ มีการเคลื่อนที่กลับไปกลับมาซ้ำรอยเดิม เมื่อการเคลื่อนที่ครบรอบ ดังนั้น การศึกษาปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบซิมเปิ้ลฮาร์มอกนิก จึงสามารถศึกษาได้จาก เงาของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบวงกลมในระนาบดิ่ง ที่ตกกระทบไปยังระนาบในแนวดิ่ง และในแนวระดับ ดังภาพ

 

การหาปริมาณต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบซิมเปิ้ลฮาร์มอนิก เช่น การกระจัด ความเร็ว และความเร่งของนุภาค ณ ตำแหน่งต่างๆ เมื่อเวลาผ่านไป t ทั้งในแนวระดับและในแนวดิ่ง สามารถหาได้โดยใช้ความรู้เกี่ยวกับการเคลื่อนที่ในแนววงกลม

เมื่อเวลาผ่านไป t ให้อนุภาคเคลื่อนที่ในแนวเฉพาะส่วนโค้งของวงกลมจากตำแหน่ง A ไปอยู่ตำแหน่ง B ทำมุมที่จุดศูนย์กลางซึ่งเท่ากับดังรูป

การหาการกระจัดในแนวระดับและในแนวดิ่ง

จากรูป พิจารณาในแนวระดับ จะได้

พิจารณาในแนวดิ่ง  จะได้

 พิจารณาความเร็วของเงาของอนุภาค  จากรูป   ณ  ตำแหน่ง  B  มีขนาด  v   

ซึ่งเท่ากับซึ่งเท่ากับ  หรือ     สามารถหาขนาดของความเร็วของเงาอนุภาคในแนวระดับและแนวดิ่งได้  ดังนี้

 

การหา  และ

XXXXXจากรูปXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXXX
XXXXXและXXXXXXX
XXXXXXXXXXXXXX
XXXXXจากXXXXXXX
XXXXXXXXXXXXXX
XXXXXแทนค่า  ในสมการ
XXXXXได้ว่าXXXXX
XXXXXXXXXXXX
XXXXXและXXXXX
XXXXXXXXXXXX
XXXXXเครื่องหมาย  หมายความว่า  ณ  ตำแหน่งหนึ่งๆ อนุภาคมีการเคลื่อนที่ไปและกลับ
XXXXXพิจารณาความเร่งของเงาของอนุภาค  จากรูป  ณ  ตำแหน่ง  B มีความเร่ง  a  ซึ่งเท่ากับ  หรือ  สามารถหาขนาดของความเร่งของเงาของอนุภาคในแนวระดับและแนวดิ่งๆ ได้  ดังนี้

XXXXXการหา  และ
XXXXXจากรูปXXXXX
XXXXXหรือXXXXXX
XXXXXและXXXXXX
XXXXXXXXXXXXX
XXXXXหรือ XXXXX
XXXXXจากสมการที่ได้ออกมาเครื่องหมายมีค่าติดลบ  (-)  หมายความว่า  ณ  ตำแหน่ง  B ความเร่ง  a  มีทิศตรงข้ามกับการกระจัด  และ
การหาอัตราเร็วสูงสุด  ()   และอัตราความเร่ง ()

XXXXXจากXXXXX
XXXXXณ  ตำแหน่งสมดุล   มีค่ามากที่สุด
XXXXXได้ว่าXXXXX
XXXXXดังนั้นXXXXX
XXXXXจากXXXXXXXXX
XXXXXณ  ตำแหน่งไกลสุด  y  มากสุดเท่ากับ  A   a มีค่ามากที่สุด
XXXXXได้ว่าXXXXX

 

ถ้านำดินน้ำมันก้อนโตพอเหมาะติดไว้ที่ขอบวงล้อกลมหรือแผ่นไม้วงกลมซึ่งหมุนได้คล่องในแนวระดับ เมื่อหมุนวงล้อให้อัตราเร็วเชิงมุมสม่ำเสมอ  ดินน้ำมันจะเคลื่อนที่ในแนววงกลมด้วยอัตราเร็วสม่ำเสมอด้วย  เมื่อฉายลำแสงขนานในแนวระดับไปที่ดินน้ำมัน ดังรูป   เงาของดินน้ำมันจะปรากฏบนฉากข้างหลัง โดยการเคลื่อนที่ของเงาจะกลับไปกลับมาในแนวตรงเป็นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

การฉายแสงผ่านวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม ปรากฏเงาบนฉากเป็น SHM

พิจารณาการเคลื่อนที่แบบวงกลมสัมพันธ์กับการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิค (S.H.M)

                    

  จากภาพจะเห็นว่าเมื่อวัตถุสีเหลืองเคลื่อนที่เป็นวงกลม  เงาของวัตถุบนฉากจะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงกลับไป
กลับมา เรียกการเคลื่อนที่แบบซ้ำรอยเดิมนี้ว่า การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิค   (Simple Harmonic Motion)
หรือการเคลื่อนที่แบบ S.H.M

เงาบนฉากของวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม ก็เหมือนกบการคิดองค์ประกอบทาง x  ของการเคลื่อนที่ของจุดๆ หนึ่งเป็นวงกลมบนระนาบ xy  ดังรูป 4.27 ให้ที่ขณะหนึ่งจุดนั้นอยู่ที่ตำแหน่งมุม  หลังจากเคลื่อนที่มาแล้วเป็นเวลา  t  จากจุดตั้งต้นบนแกน  x  ดังรูป  การเคลื่อนที่เป็นวงกลมที่มีอัตราเร็วสม่ำเสมอ ดังนั้น  ถ้าวงกลมมีรัศมี  r  จะมีองค์ประกอบของตำแหน่งบนแกน x คือ
                                                                                          (4.16)
และองค์ประกอบของความเร็วบนแกน  x  คือ
                                                                               (4.17)

                          

จุด P เคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอบนระนาบ xy

          จากความเร่งในทิศเข้าหาจุดศูนย์กลางมีขนาดเท่ากับ   หรือ จะได้องค์ประกอบของความเร่งบนแกน  x  คือ
                                                                         (4.18)
          จะเห็นว่าตำแหน่งทาง  x  ในสมการ (4.16)  เป็นอย่างเดียวกับสมการ (4.14)  เมื่อ เมื่อ เมื่อ เมื่อ ซึ่งเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย  และเมื่อนำมาใช้ในสมการ (4.18)  จะทำให้ได้ว่า
                                                                                                         (4.19)
          สมการ (4.19) แสดงลักษณะสำคัญประการหนึ่งของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย นั่นคือ การมีความเร่งเป็นปฎิภาคกับการกระจัดแต่มีทิศตรงกันข้าม เนื่องจาก มีค่าคงตัว ทั้งนี้ทิศของความเร่งจะเป็นทิศเดียวกับแรง และแรงจะต้องเป็นแรงเข้าหาจุดสมดุลในขณะที่การกระจัดมีทิศออกไปจากสมดุล
            สำหรับการเคลื่อนที่ของดินน้ำมันไปตามแนววงกลม เมื่อเคลื่อนที่ครบ 1 รอบใช้เวลาที่เรียกว่าหนึ่งคาบ (period) หรือ T หนึ่งรอบหมายถึงดินน้ำมันจะเคลื่อนที่ไป เรเดียน ดังนั้นอัตราเร็วเชิงมุม   ของการเคลื่อนที่เป็นวงกลมจึงมีค่าเท่ากับ ส่วนเงาของดินน้ำมันที่เคลื่อนที่กลับไปกลับมารอบตำแหน่งสมดุลจะมีความถี่ของการเคลื่อนที่เป็น  มีหน่วยเป็นรอบต่อวินาทีหรือเฮิรตซ์ (hertz, Hz)  ความถี่เชิงมุม ()  ของการเคลื่อนที่แบบ SHM  มีค่าเป็น ซึ่งมีค่าเหมือนกับอัตราเร็วเชิงมุม และมีหน่วยเป็นเรเดียนต่อวินาทีเช่นเดียวกัน

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายของรถติดสปริง 

         เมื่อดึงรถทดลองให้สปริงยึดและรถออกจากตำแหน่งสมดุลเป็นระยะ A จะได้การกระจัดของรถทดลองมีค่า  A และมีแรง  ของสปริงดึงรถทดลองไปทางซ้าย ดัง รูป 4.28  ก. แรงนี้เรียกว่า แรงดึงกลับ  (restoring  force) มีค่าตาม ซึ่งแสดงว่าขนาดและแรงดึงกลับแปรผันตรงกับระระยืดหรือหดของสปริงหรือขนาดการกระจัด  แต่แรงดึงกลับ มีทิศตรงข้ามกับการกระจัดโดย  k  เป็นค่าคงตัวของสปริง
        เมื่อปล่อยมือ แรง จะดึงรถทดลองเคลื่อนที่กลับไปทางซ้ายเข้าหาตำแหน่งสมดุลด้วยความเร่งทำให้ความเร็วมีขนาดเพิ่มขึ้นและมีทิศไปทางซ้าย ขนาดของแรงจะลดลง เพราะขนาดการกระจัด ลดลง  การเคลื่อนที่เป็นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย เมื่อรถทดลองเคลื่อนที่ถึงตำแหน่งสมดุล ขนาดของการกระจัด เป็นศูนย์ ขนาดของและก็เป็นศูนย์แต่ความเร็วของรถทดลองจะมีค่ามากที่สุดและมีทิศไปทางซ้าย ดังรูป 4.28 ค
จากนั้นรถทดลองจะเคลื่อนที่ออกจากตำแหน่งสมดุลไปทางซ้ายต่อไปอีก และอัดลวดสปริงให้หดสั้น ลวดสปริงก็จะออกแรง มีทิศไปทางขวาต้านการเคลื่อนที่ของรถทดลอง ในขณะนี้รถทดลองจะเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง ที่มีทิศไปทางขวาทำให้ความเร็วรถทดลองลดลงเรื่อยๆ จนกระทั่งความเร็วเป็นศูนย์ ขณะนี้รถทดลองมีการกระจัดค่า - A  ดังรูป   จ  แล้วเคลื่อนที่ต่อไปดังรูปซึ่งเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย เราอาจเขียนกราฟของการกระจัดกับเวลาของการเคลื่อนที่ของรถทดลองในรูป  ได้ดังรูป    

  
กราฟของการกระจัดของเวลาสำหรับหนึ่งรอบของการเคลื่อนที่ 

         เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ของรถทดลองติดปลายสปริงที่เคลื่อนที่ แรงที่สปริงกระทำต่อรถทดลองจะมีค่าเป็น  F  =  - kx   ถ้าให้  m  เป็นมวลของรถทดลอง และ a  เป็นความเร่งของรถทดลอง จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตัน
จะได้                        F   =  ma  =  -  kx
และ                                                                                                                                                                 (4.20)
นั่นคือ  การเคลื่อนที่ของรถทดลองติดสปริงเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่าง่ายเช่นเดียวกับการเคลื่อนที่ของเงาของดินน้ำมัน มีความเร่งแปรผันตรงกับการกระจัด แต่มีทิศตรงกับข้าม
          เทียบสมการ  ( 4.20)  กับสมการ (4.19) จะเห็นว่า ความเร่งคือ
                              
ดังนั้น                                                         
                                                                                (4.21)
          ความถี่เชิงมุมของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย มีความสัมพันธ์กับค่าคงตัวของสปริง และมวลของวัตถุที่ติดกับสปริง ดังสมการ 4.21

การแกว่งของลูกตุ้มอย่างง่าย
          ลูกตุ้มอย่างง่ายคือ ลูกตุ้มที่ประกอบด้วยมวลขนาดเล็ก ตามอุดมคติเป็นจุด แขวนที่ปลายด้ายหรือเชือกอ่อน โดยธรรมชาติวัตถุแขวนห้อยในแนวดิ่งเป็นตำแหน่งสมดุล เมื่อดึงวัตถุให้เอียงทำมุมเล็กๆ กับแนวดิ่งแล้วปล่อยให้วัตถุเคลื่อนที่แกว่งกลับไปมา ซึ่งจะพิสูจน์ได้ว่าเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

      




            ขณะเส้นเชือกเอียงทำมุมกับแนวดิ่งมีแรงกระทำเข้าหาจุดสมดุล

พิจารณาลูกตุ้มที่ผูกติดกับเชือกเบา แล้วแกว่งไปมาในแนวดิ่งในทำนองเดียวกับการแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกา โดยกำหนดให้

m เป็นมวลของลูกตุ้ม             

L เป็นความยาวของเส้นเชือก

Q เป็นมุมที่เส้นเชือกทำกับแนวดิ่ง

 

 

จากรูปจะเห็นว่าในขณะที่ลูกตุ้มอยู่ในแนว กับแนวดิ่ง การขจัดจะเป็น x ซึ่งถ้า เป็นมุมเล็ก ๆ จะได้ว่า x = L ดังนั้นการขจัดของวัตถุอาจจะเขียนได้ว่าเป็น x หรือเป็น ก็ได้ เมื่อพิจารณาแรงน้ำหนัก mg ของลูกตุ้ม ก็สามารถแตกแรงนี้ออกเป็น 2 ส่วน คือ mgcos อยู่ในแนวเดียวกับเส้นเชือก และ mg sin ซึ่งอยู่ในแนวเส้นสัมผัส แรง mg sin นี่เองที่เป็นแรงดึงกลับที่กระทำต่อลูกตุ้ม

นั่นคือ แรงดึงกลับ = F = mg sin

ในขณะที่ ระยะทางของวัตถุ = x = LQ

ดังนั้น แรงดึงกลับจึงไม่แปรผันโดยตรงกับระยะทาง การแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกาไม่น่าเป็น SHM แต่ถ้ามุม มีค่าน้อย ๆ จะได้ว่าในหน่วยเรเดียน

sin =

ดังนั้น แรงดึงกลับ = F = mg

ระยะทาง = x = LQ

จึงได้ว่า แรงดึงกลับเป็นสัดส่วนโดยตรงกับระยะทางแล้ว

นั่นคือ การแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกาที่มีมุม น้อย ๆ จึงเป็น SHM

พิจารณาแรงดึงกลับ

F = mg

จากรูป เมื่อ น้อย ๆ จะได้

=

ดังนั้น  F = mg

จากกฎข้อ 2 ของนิวตัน

F = ma

ดังนั้น ความเร่งของตุ้มนาฬิกา = a =

เนื่องจากการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มเป็น SHM

ดังนั้น  a = ²x

นั่นคือ  ²x = g

หรือ  ² =

=

โดย w เป็นความถี่เชิงมุม (angular frequency) = 2f

ดังนั้น = 2f =

f = = ความถึ่ของการแกว่งของลูกตุ้ม

T = = 2 = คาบของการแกว่งของลูกตุ้ม

 

 

ขณะที่ปล่อยลูกตุ้มมวล m ซึ่งผูกกับเส้นเชือกยาว  เอียงเป็นมุม เรเดียนกับแนวดิ่ง

ลูกตุ้มมวล m จะมีแรงสองแรงกระทำต่อมวล m คือ น้ำหนักของลูกตุ้ม mg  และแรงดึงในเส้นเชือก T ซึ่งทำมุมเรเดียนกับแนวดิ่ง ดังรูป  สองแรงนี้รวมกันได้แรงลัพธ์เป็น ตามแนวเส้นสัมผัสซึ่งตั้งฉากกับเส้นเชือก
 เนื่องจากแรง  mg  สามารถคิดแยกออกเป็น  2  แรงในแนวตั้งฉากกัน ดังรูป จะเห็นว่าแรง เป็นแรงที่ดึงมวล  m  กลับสู่ตำแหน่งสมดุล ให้แรงนี้เป็นแรง F ขณะที่ มีขนาดเท่ากับ T ทำให้เชือกตึงยาวเท่าเดิม  เมื่อคำนึงถึงทิศด้วย แรงลัพธ์  F คือ
                            
  ถ้ามุม เป็นมุมเล็กๆ การเคลื่อนที่โค้งประมาณได้ว่าเป็นเส้นตรง คือการกระจัด x และ จะได้
                                                               

                                              

                                     
     จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน       F  =  ma
                    จะได้                       
                                                         
จะเห็นว่า ความเร่งของลูกตุ้มแปรผันตรงกับการกระจัด และมีทิศตรงกันข้ามการแกว่งของลูกตุ้มจึงเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายด้วย
                   เนื่องจากอัตราเร่งของการแกว่ง                         
           ดังนั้น                                      
                    จาก          จะได้       (4.22)
                    หรือ                                (4.23)
          สมการ  (4.23) อาจนับว่าเป็นสมการที่ทำนายคาบของลูกตุ้มอย่างง่ายจากที่ได้วิเคราะห์มาตามหลักการของการเคลื่อนที่ที่ต้องเป็นไปตามกฎของนิวตัน 
 

 

 

 

 

โจทย์การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

 

 

 วิดีโอแสดงการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

แหล่งที่มาที่ใช่ประกอบบทความ

 

http://www.scimath.org/

http://www.vcharkarn.com/lesson/view.php?id=1133

http://www.scimath.org/

http://www.school.net.th/library/snet3/supinya/harmonic-pen/pendulum.htm

http://www.youtube.com/watch?v=GyS0wwWl7lY

http://www.rmutphysics.com/physics/oldfront/81/SHM1/index.htm